Day 4 · 计算专项②：关键路径与网络图
案例卷第二大计算来源：给一张双代号/前导图，问关键路径、工期、时差。
一、四参数遍历法（顺推 ES/EF，逆推 LS/LF）
EF = ES + 持续时间 LS = LF − 持续时间
顺推：ES = 所有紧前活动 EF 的最大值 逆推：LF = 所有紧后活动 LS 的最小值
总时差 TF = LS − ES = LF − EF 自由时差 FF = 紧后活动 ES 最小值 − 本活动 EF
顺推：ES = 所有紧前活动 EF 的最大值 逆推：LF = 所有紧后活动 LS 的最小值
总时差 TF = LS − ES = LF − EF 自由时差 FF = 紧后活动 ES 最小值 − 本活动 EF
| 概念 | 判定 |
|---|---|
| 关键路径 | 总时差最小（通常=0）的活动连成的最长路径；决定项目最短工期 |
| 总时差 TF | 不影响总工期可拖延的最大时间 |
| 自由时差 FF | 不影响紧后活动最早开始可拖延的时间 |
| 关键路径条数 | 可以有多条，都要写全（漏条扣分） |
二、真题演练（自己画一遍网络图）
例题：活动 A(2)→C(4)→E(3)；A→D(5)→E；B(3)→D
路径枚举：A-C-E = 2+4+3 = 9；A-D-E = 2+5+3 = 10；B-D-E = 3+5+3 = 11。
关键路径 = B→D→E，工期 11 天。
验证：活动 C 在 A-C-E 上，9 天比 11 少 2 → TF(C)=2。
压缩工期选择（案例常问「最优压缩方案」）
规则：只压关键路径上的活动；同等可压时选单位时间增加费用最低的；压完一条要重新枚举路径，防止新关键路径冒出来。
三、答题模板
- 列出所有路径及长度
- 点明最长路径=关键路径、工期=X 天
- 按问计算 TF/FF 并写算式
- 压缩类问题：给「先压哪个活动、压几天、总工期变几天」三段结论
四、真题演练
1. 某活动 ES=4、EF=9、LS=6、LF=11，总时差是？
2. 某活动总时差 3 天，实际延误 2 天，项目总工期？
3. 要缩短工期 2 天，费用增额：关键活动 X=每天 3 万、Y=每天 5 万，非关键 Z=每天 1 万。方案？
4. 活动 ES=5、持续 7 天，EF=？
5. 紧前活动 EF 分别为 6 和 10，本活动 ES=？
6. 紧后活动 LS 分别为 8 和 12，本活动 LF=？
7. 关键路径上的活动延误 3 天，总工期？
8. 本活动 EF=7，紧后活动 ES=10，自由时差 FF=？
9. A-B-C=12 天，D-E-F=12 天（两条独立路径），工期与关键路径数？
10. 上题 A-B-C 中 C 可压缩 1 天，压完后总工期=？
案例大题 1：网络图综合（练「枚举路径→算时差→给压缩方案」三段式）
题干
活动：A(3)→B(4)、A→C(2)、B→D(5)、C→D、D→E(4)、F(6)→E。F 无紧前活动。
问题：(1) 求工期与关键路径；(2) 求活动 C 的总时差；(3) 工期需压缩 2 天，各活动每天赶工费：A=2万、B=4万、D=3万、E=5万，给出最优压缩方案与总费用。
看参考答案
(1) 枚举路径：A-B-D-E=3+4+5+4=16；A-C-D-E=3+2+5+4=14；F-E=6+4=10。 关键路径 A→B→D→E，工期 16 天。 (2) TF(C)=关键路径长−C 所在最长路径=16−14=2 天。 (3) 只压关键路径活动：B 最便宜(4万/天)、其次 D(3万/天)→实际比较每天费用：D(3)＜B(4)＜A(2)? A=2 最便宜。 先压 A（2万/天）：A 同时出现在 16 与 14 两条路径，压 2 天后路径变 14/12，A-B-D-E 仍关键，费用 2×2=4 万。 答：压缩 A 两天，总费用 4 万，工期 14 天。 注意：若压 D 两天（D 也在两条路径上）费用 6 万——比较后仍选 A。